Йога Форум

"Пескарик" писал(а):Какими причинами объясняется введение множества иррациональных чисел?...Какие жизненные потребности побудили человека ввести иррациональные числа? Где это на практике было нужно человеку?

Один пример уже есть - невозможность измерить точно гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами равными 1 (нельзя выразить ни через целое, ни через дробное число). Т.е. нет такой дроби, при возведении в квадрат которой получится 2. Или, к примеру, задача о кроликах средневекового математика по прозвищу Фибоначчи. В получившейся последовательности отношение двух соседних значений численности размножающихся кроликов стремится к иррациональному числу Ф (Фидия или Фибоначчи), его ещё называют золотым сечением. Эта иррациональная пропорция в природе практически повсюду: в шишках, ананасах, кактусах, раковинах моллюсков, в общем, начиная от молекулы ДНК...семечек в подсолнухе и заканчивая спиралями галактик - всё одинаково. Если испугать стадо северных оленей, оно разбегается по золотой спирали. Правда, один йог получил информацию, что уже давно золотое сечение не актуально и не работает. Что пропорция более "вытянулась". Я пока не проверял актуальность этой информации.

Кстати, интересный факт. Иррациональные числа сегодня работают не только в генераторах случайных чисел (т.к. в десятичной системе их знаки после запятой появляются случайно, и любой генератор просто вычисляет эти знаки у какого-нибудь заданного иррационального числа. В 1957 г 12 летний американский вундеркинд построил систему счисления с иррациональным основанием типа золотой пропорции. Дело в том, что неймановские принципы, определившие развитие вычислительной техники, привели к тому, что сегодняшние компьютеры принципиально ненадёжны - в классической двоичной системе отсутствует механизм обнаружения ошибок процессора. В СССР в 70-80 годы прошлого века разрабатывались "золотые" компьютеры или компьютеры Фибоначчи, а также "золотые" АЦП и ЦАП. Это не примитивные 0 или 1, как сегодня, это повышение контроля точности и стабильности... и если бы удалось противостоять сионскому отделению Украины, вполне возможно, сейчас бы мы имели альтернативу современным компьютерам.

Про слабо-трансцендентное число "пи" полагаю, нужно лишь написать, что оно выражает не только отношение радиуса и длинны окружности. Оно появляется в математической статистике. И сколько его не умножать на себя, целого числа мы получить не сможем. Про супер-трансцендентное число "е", можно привести в пример геометрию Лобачевского - все соотношения там выражаются при помощи гиперболических синуса и косинуса, которые равны сумме или разности "е" в степени х.

Мимо проходил, Действительно, в СССР были разработаны компьютеры на основе троичной логике. Основой для них были - ферритовые элементы с четыремя состояниями... Мне удалось только посмотреть на них - это машина Наири. Самое интересное, что для нее был создан язык Аналитик интерпретаторного типа с синтаксисом на русском. Машина была очень привлекательна!!

Да, Taxer, подумать только..., у нас в СССР серийно выпускались компьютеры не с 0 и 1, а с 0, 1 и 2 - это ЭВМ "Сетунь". А ведь точно так же, как через некоторое продолжительное время собака и хозяин становятся похожи даже внешне (что уж говорить о внутреннем),также взаимопроникается человек и современный компьютер. Много раз замечал, что у слишком "проникнутых" компьютером всяческих хакеров и т.д. чувство юмора, к примеру, совсем другое, нежели у людей, не так тесно по жизни общающихся с ЭВМ. Я хочу сказать, что если бы распространилась более элегантная и компактная троичная IT-индустрия, мы бы были чуточку лучше... надеюсь... )))

"мимо проходил" писал(а):Один пример уже есть - невозможность измерить точно гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами равными 1 (нельзя выразить ни через целое, ни через дробное число). Т.е. нет такой дроби, при возведении в квадрат которой получится 2...

В самом деле, это классика объяснения введения иррациональных чисел. Но она для математики. Поясню, что я имею ввиду. На практике измерение расстояний не требует бесконечной точности. Есть погрешность измерения. Например, с помощью обычной рулетки диагональ стола мы всё равно с бесконечной точностью не измерим. Ну с точностью до 1 мм, ну или чуть точнее. А результат всё равно придётся записать типа: L=2,111+/-0.011 (м).
Таким образом, пояснение, что иррациональные числа нужны, чтобы измерять диагональ квадрата не подходит.
В этой связи и возникает вопрос, чем вызвано на практике человечества расширение их сознания до множества иррациональных чисел?

"Пескарик" писал(а):На практике измерение расстояний не требует бесконечной точности.

Это если говорить с сегодняшней точки зрения, когда мы имеем измерительные эталоны и производные от них линейки и т.д. Но раньше, ведь не измеряли, а соизмеряли. И Пифагор думал, что может описать геометрию арифметикой, что все вещи в мире можно будет выразить через натуральные числа или их отношения. Вся древнегреческая эстетика и философия жизделась на том, что всё есть число. И доказывал Пифагор свою теорему при помощи дробей, корней тогда ещё не придумали. Собственно, вот его доказательство:
1^2+1^2=m^2/n^2 --> m^2=2*n2 --> m^2 чётное --> m тоже чётное, тогда n нечётное.
Пусть m=2*p --> 4*P^2=2*n^2 --> n - чётное, что противоречит предыдущему.

Да, конечно, 1 яблоко на троих можно разделить с приемлемой точностью. Но попробуйте разделить 1 на 3. Получится бесконечная последовательность из 0.33333.... Но у этого числа есть запись в виде соотношения двух целых чисел - это дробь 1/3, а у квадратного корня из 2 нет такой записи, у числа Фидия нет такой записи, поэтому, полагаю, и нужно было ввести такие числа.

Мимо проходил, жаль не видел "Сетунь", а в троичной логике есть нечто поистине йоговское... Как Вам это - Истина, Ложь, Неизвестно... На "Наири", в свое время, было сдано несколько лаб, а ячейка от этой машины где-то до сих пор у меня хранится...)) Опять же, если вспомнить школу академика Глушкова... Эх, Украина,...

(а по архитектуре фон Неймана можно ездить вдоль и поперек...)

действительно, число можно записать в десятичном виде с конечным числом цифр до запятой и бесконечным числом после. Рациональными из них будут те, которые имеют неповторяющуюся конечную базу цифр плюс последующие бесконечно много цифр, которые повторяются с некоторым периодом, не равным бесконечности, например 1,234(567) такая запись означает, что это число равно 1,234567567567567567567.... т.е. повторяется "567" после цифры 4. Период повторения цифр здесь равен 3 цифрам.
То же самое, например, с числом 3/2=1,500000...=1,5(0)), здесь после цифры 5 повторяется нуль. Т.е. период повторения равен 1 цифре.
Т.е. даже если Пифагор и рассчитывал всевозможные расстояния, как строить дома, то в конечном счёте всё сводилось к кирпичной кладке, где точность прилегания кирпичей ну несколько знаков после запятой, т.е. это было рациональное число.

Про иррациональные числа можно сказать, что длина повторения группы цифр после конечной базы равна бесконечности. А значит потребность в использовании иррациональных чисел возникла, когда стала нужна бесконечная точность.
Где ж она на практике оказалась нужна людям? Т.е. существуют ли кроме математических пояснений необходимости введения иррациональных чисел иные причины их введения?

Пескарик, правильно, если можно легко вычертить прямоугольный треугольник, но вычислить гипотенузу через катеты не возможно... Думаю, что в свое время это могло легко "сорвать крышу"... Оказывается не все поверяется целыми соотношениями...

Полагаю, бесконечная точность, это не практическое понятие, а абстрактное. Самое первое (в общепринято обозримой нынче истории) иррациональное число появилось в результате скандального открытия пифагорейцев (конкретно, ученик Пифагора Гиппас из Метапонта) - тайна отсутствия общей меры между катетами и гипотенузой из одного и того же треугольника или диагонали и стороны квадрата обусловила название - число, выходящее за рамки разумного, т.е. иррациональное. Но также бесконечное число 1/3 рационально, разумно, т.к. выражается отношением целых чисел. Формальный подход в математике как раз и состоит в том, чтобы вывести или исследовать как можно больше следствий из аксиом. Естественно, на каком-то этапе эти следствия уже никак не походят на модели окружающего мира, и никаким образом не вытекают из практических нужд. Но это одна из главных отличительных черт математики - исследование моделей совершенно далёких от действительности, разрабатывание стуктур, применение которым может быть найдётся потом, спустя годы или столетия.

Кроме платоников и формалистов в математике можно выделить конструктивистов - они вообще не признают бесконечных множеств, они занимаются только теми объектами, которые построены, вычислены при помощи натуральных чисел и за конечное число шагов. Кантор, к примеру, просто верил, что математическая бесконечность существует актуально, ведёт к познанию Бога и т.. Его оппоненты, напротив, отказывались рассуждать сразу о всех цифрах ряда, допускали лишь возможность вычислить любую из них. Отсюда выводилась недопустимость применения логического закона исключения третьего к бесконечным объектам. В общем, в результате такого противостояния, Кантор скончался потом в психушке. Интересно было бы предположить, как развивались бы события, если бы Кантор жил по способу йога.)))

"Пескарик" писал(а):Где ж она на практике оказалась нужна людям? Т.е. существуют ли кроме математических пояснений необходимости введения иррациональных чисел иные причины их введения?

...замечу, опять таки... если бы не развивалось абстрактное направление человеческой мысли, тогда вряд ли, например, появились формальные языки программирования, эллиптическая криптография, триангулярный метод в геодезии... (последние две ну просто "стоят" на иррациональных числах))